Calculadora de determinantes - Calcular el determinante de una matriz online

Calculadora de determinantes

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El cálculo de determinantes es una de las operaciones más importantes en álgebra lineal. Por lo que dada la importancia de este procedimiento matemático, hemos decidido crear la Calculadora de determinantes online que ponemos a tu disposición de forma totalmente gratuita.

Para calcular el determinante de una matriz con esta calculadora, tan solo debes realizar tres sencillos pasos:

  1. Ingresar  la matriz a la que le vas a calcular su pendiente. Para ello utilizarás los campos detinados para tal fin, pudiendo ampliar o disminuir el número de columnas y filas según la dimensión de la matriz que vayas a ingresar. Recuerda que para el calcular el determinante la matriz debe de ser cuadrada.
  2. Elige si quieres obtener la solución expresada en números decimales o no.
  3. Presiona el botón «Calcular el determinante». Una vez presiones dicho botón, se desplegará automáticamente la solución.

La solución se explica paso a paso  mediante cuatros métodos distintos:

  • Regla del triángulo
  • Regla de Sarrus
  • Métdodo de Motante
  • Método de eliminación de Gauss
  • Fórmula de Leibniz

¿Qué son los determinantes? | Definición del determinante de una matriz

El determinante puede entenderse como una función cuya entrada es una matriz cuadrada y cuya salida es un número. Debes recordar que una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas y columnas. También podríamos definir al determinante de una matriz como una propiedad escalar de esa matriz. 

Los determinantes tienen una gran utilidad en el mundo de las matemáticas ya que nos permiten saber si la matriz se puede invertir o no, analizar y solucionar sistemas de ecuaciones lineales simultáneas (regla de Cramer), encontrar el área de triángulos si conocemos las coordenadas de los vértices, entre otras muchas más aplicaciones. 

 Existen varias notaciones para referirnos al cálculo de determinantes. Una de ellas consiste en utilizar la abreviatura de determinante, det seguido de la matriz. Una segunda notación consiste en encerrar entre dos barras verticales la matriz en cuestión. Ojo, no confunda esta última notación con el valor absoluto de una matriz. 

A continuación se muestra un ejemplo de las notaciones anteriormente mencionadas:

determinante de una matriz

Propiedades de los determinantes

  1. Si todos los elementos de una fila o columna son iguales a 0, entonces el valor del determinante es cero.
  2. El determinante de una matriz de identidad (In) es 1 .
  3. Si se intercambian filas y columnas, el valor del determinante sigue siendo el mismo. Por lo tanto, det (A) = det (AT) , donde AT es la transpuesta de la matriz A.
  4. Si se intercambian dos filas o dos columnas de un determinante, el valor del determinante se multiplica por -1 .
  5. Si todos los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por algún número escalar k, el valor del nuevo determinante es k veces el determinante dado. Por lo tanto, si A es una matriz cuadrada de n filas y K es cualquier escalar. Entonces | KA | = Kn| A | .
  6. Si dos filas (o columnas) de un determinante son idénticas, el valor del determinante es cero.
  7. Sean A y B dos matrices, entonces det (AB) = det (A) * det (B) .
  8. Si A es una matriz, entonces | An| =(|A|)n .
  9. El determinante de la inversa de una matriz se puede determinar como sigue |A-1|=1/|A| 
  10. El determinante de una matriz diagonal, la matriz triangular (matriz triangular superior o triangular inferior) es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.
  11. El determinante de una matriz adjunta: |adj(A)|=(|A|)n-1

Como calcular el determinante de una matriz

Determinante de una matriz 2x2

Dada la matriz 2×2

matriz 2x2

Tenemos que su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

determinante de una matriz 2x2

 

Determinante de una matriz 3x3

A continuación te enseñaremos a calcular el determinante de una matriz 3×3 mediante el método general y mediante el método Sarrus el cuál solo es aplicable a este tipo de matrices. Para ello tomaremos la siguiente de matriz de ejemplo:

matriz 3x3

Método General 

Para calcular el determinante de una matriz 3×3 mediante el método general, debemos seguir los siguientes pasos:
  1. Primero debes tomar el primer elemento de la primera fila y lo multiplicas por el determinante de una matriz secundaria 2×2 que proviene de los elementos restantes en la matriz de 3×3 que no pertenecen a la fila o columna a la que pertenece su primer elemento seleccionado. Tomando como referencia el determinante de la matriz A anteriormente presentada, construimos la primera parte del resultado de esta operación seleccionando el primer elemento de la primera fila y columna que en este caso es la constante «a», y luego lo multiplicamos por a matriz producida a partir de los cuatro elementos que no pertenecen ni a la fila de la columna en la que está «a». Multiplica «a» con esta matriz secundaria 2×2 obtenida y ese es el primer término de la solución.

Metodo general - determinante de una matriz 3x3 paso 1

  1. Para el segundo término seleccionamos el segundo elemento de la fila superior (en nuestro caso la constante «b») acompañado de un signo negativo, que ahora multiplicará el determinante de una matriz secundaria 2×2 que resulta, una vez más, de los cuatro elementos de la matriz que no pertenecen a la columna en la que está «b».

Metodo general - determinante de una matriz 3x3 paso 2

  1. Repetimos el paso uno, pero ahora con el tercer elemento de la fila superior de la matriz. Con ello nos queda que la fórmula para calcular el determinante de matrices 3×3 mediante el método General es la siguiente:

Formula Metodo general - determinante de una matriz 3x3

Método de Sarrus 

Para obtener la determinante de una matriz 3×3 mediante el métdodo de Sarrus debemos realizar los siguientes pasos:
  1. El primer paso consistirá en reescribir la matriz original agregándole a su derecha las dos primeras columnas, quedando de la siguiente manera:

Metodo de Sarrus - determinante de una matriz 3x3 paso 1

  1. El segundo paso consiste en trazar todas las diagonales posibles tanto de noroeste a sureste, que llamaremos diagonales principales, como de suroeste a  noreste, a las que llamaremos diagonales secundarias.

Metodo de Sarrus - determinante de una matriz 3x3 paso 2

  1. Hecho esto tenemos que el determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de las diagonales principales menos la suma de los productos de los elementos de las diagonales secundarias.

Metodo de Sarrus - determinante de una matriz 3x3 paso 3

Determinante de una matriz nxn

Para calcular determinantes de matrices de mayores dimensiones puedes utilizar el método general anteriormente explicado, o cualquiera de los métodos que implementa la Calculadora de determinantes online.

metodos de la calculadora de determinantes online

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