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Una de las operaciones más importantes en el campo de las matemáticas es la factorización de polinomios. Ello se debe a que la factorización nos permite reescribir polinomios en una forma más simple, y al aplicar los principios de factorización a las ecuaciones, podemos hallar la solución de una forma más sencilla. Es por ello que ponemos en tus manos esta calculadora de factorización de polinomios, una amplia explicación de que son los productos notables y los conceptos que debes dominar para saber como factorizar polinomios.
Para usar la calculadora de factorización de polinomios, solo debes de escribir «factor» seguido del polinomio a factorizar encerrado entre paréntesis y luego presionar el botón verde «Calcular». Ej.: factor(x^4-10x^2+9) o factor(x^3+27)
Esta calculadora es capaz de resolver una gran variedad de problemas algebráicos. Para descubrir todas sus funciones ir a Calculadora de Ecuaciones.
Recuerda que si la calculadora de factorización te ha sido de ayuda compártela con tus compañeros a través de las redes sociales, para que también ellos puedan utilizarla.
A continuación te presentamos los conceptos teóricos más importantes que debes conocer sobre la factorización y productos notables.
La factorizacion de polinomios es un proceso que busca mediante el uso propiedades matemáticas, como la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva, reordenar y agrupar términos de una manera conveniente. En otras palabras, la factorizacion de un polinomio consiste en representarlo mediante el producto de sus factores o divisores.
Como hemos visto en la definición factorizacion, para factorizar un polinomio, debemos reescribirlo como un producto de sus factores. Para lo cual, primero debemos identificar el máximo factor común de los términos. Luego deberemos usar la propiedad distributiva para reescribir el polinomio en una forma factorizada. Recuerda que la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma establece que un producto de un número y una suma es igual a la suma de los productos.
A continuación te presentamos diferentes metodos de factorizacion con los cuales podrás factorizar cualquier tipo de polinomio:
Se conoce como productos notables a ciertos productos que cumplen con reglas fijas y cuyo resultado puede escribirse por simple inspección, es decir, sin llevar a cabo la multiplicación.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados. Por ello el método de factorización empleando productos notables consiste en identificar en el polinomio la presencia de una expresión cuya forma corresponda a la de un producto notable para luego aplicar la fórmula correspondiente y así reescribir el polinomio en su forma factorizada.
A continuación pasaremos a presentar los productos notables más usados en la factorización de polinomios:
Este producto notable establece que podemos conocer el resultado de la multiplicación de un monomio $c$ por un binomio $(a+b)$ aplicando la ley distributiva:
$c•(a+b)=c•a + c•b$
El producto de dos binomios que poseen en común uno de sus términos se puede expresar de la siguiente manera:
$(x+a)•(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
El producto de dos binomios conjugados puede ser expresado como una diferencia de los cuadrados de los términos:
$(a-b)• (a+b)=a^2-b^2$
El cuadrado de un binomio genera lo que se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Si el binomio es una suma de dos términos tendremos que:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
En cambio si hablamos del cuadrado de la diferencia de dos términos la cosa varía un poco:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Un binomio elevado a la tercera potencia se puede expresar de la siguiente forma si se trata de el cubo de la suma de dos términos:
$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$
En el caso del cubo de una diferencia de términos tenemos que:
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a+b)$
Este producto notable establece que la suma de términos elevados cada uno al cubo equivale a:
$a^3+b^3=(a+b)(a^2+ab+b^2)$
Este producto notable es muy similar al anterior, ya que únicamente cambia de signo el binomio:
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Este segundos métdodo de factorizacion de polinomios será lo primero que deberíamos intentar, ya que en la mayoría de los casos nos ayuda simplificar la estructura del polinomio.
Para poner en práctica esta técnica, solo deberemos observar e identificar si existe un factor comun a todos los términos del polinomio. Si dicho factor comun existe, los sacamos fuera multiplicando al resto. Es importante señalar que está técnica simplemente consiste en usar la ley distributiva.
Ejemplo:
$3x^2(x^2+2x+1)=3x^4+6x^3+3x^2$
Para realizar la factorizacion por agrupamiento deberemos realizar los siguientes pasos:
Estos son los pasos necesarios para factorizar por agrupación:
| Paso 1 : | Inspecciona el polinomio en busca de un factor común a todos los términos del polinomio. En caso de encontrarlo establece un producto entre el factor comun y el resto del polinomio. |
| Paso 2 : | Reagrupa los términos semejantes del polinomio en pequeños grupos, es decir, agrupa en un subgrupo todos los términos que contengan entre si un factor comun. |
| Paso 3 : | Factoriza cada uno de estos subgrupos mediante la técnica de factor comun. |
| Paso 5 : | Determina si los factores restantes se pueden factorizar aún más. |
Ejemplo 01:
Factorizar por agrupación el polinomio $x^2+3x+2x+6$
$x^2+3x+2x+6=x(x+3)+2(x+3)$
Sacando fuera el factor común $(x+3)$ tenemos:
$x^2+3x+2x+6=(x+3)(x+2)$
Ejemplo 02:
Factorizar por agrupación el polinomio $2y^3+y^2+8y^2+4y$
$2y^3+y^2+8y^2+4y$
$2y^3+y^2+8y^2+4y=y^2(2y+1)+4y(2y+1)$
Sacando el factor común (2y+1)
$2y^3+y^2+8y^2+4y=(2y+1)(y^2+4y)$
Sacando el factor comun de la expresión $(y^2+4y)$
$2y^3+y^2+8y^2+4y=(2y+1)(y+4)y$
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