Calculadora de matriz inversa - Cálculo de la inversa de una matriz online

Calculadora de matriz inversa


Matriz A:




Conocer como calcular la inversa de una matriz es de gran utilidad para resolver de forma sencilla sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de inversión de matrices. Por dicho motivo, ponemos en tus manos esta calculadora de matriz inversa con la que podrás prácticar, estudiar y comprender a la perfección cómo obtener la inversa de una matriz, gracias a que ofrece resultados explicados paso a paso usando diferentes métodos.

Para realizar el cálculo de la inversa de una matriz, tan solo debes realizar tres sencillos pasos:

  1. El primer paso consiste en introducir  la matriz a la que le vas a calcular su inversa. Puedes modificar el número de filas o columnas según la dimensión de la matriz que necesites ingresar mediante los botones +-. 
  2. En el segundo paso deberás elegir si quieres obtener la solución expresada en números decimales o no.
  3. Y por último, tan solo debes presionar el botón «Calcular el la matriz inversa». Cuado hayas presionado dicho botón, automáticamente se mostrará un recuadro con la solución explicada paso a paso mediante el uso de diferentes métodos.

¿Qué es una matriz inversa?

La inversa de la matriz , designada como

[A][A]–1=[A]–1[A]=[I]

donde [I] sería la matriz identidad. Esta propiedad nos dice que la inversa de una matriz dada es otra matriz de iguales dimensiones y que si se multiplica por la matriz original da como resultado la matriz identidad.

Se debe tener presente que solo las matrices cuadradas pueden tener una inversa. Esto se debe a que la definición de una matriz inversa se basa en el concepto de matriz de identidad, y solo las matrices cuadradas tienen asociada una matriz de identidad.

Una matriz cuyo determinante es igual a 0, no posee inversa, por ello a este tipo de matrices se le denomina matriz singular.

Propiedades de la matriz inversa

  • Una matriz cuadrada no singular solo posee una única matriz inversa.
  • La inversa de una matriz cuadrada A existe, solo si su determinante es un valor distinto de cero, |A| ≠ 0.
  • Si A no es singular, entonces también lo es A-1 y (A-1)-1 = A
  • Si A y B son matrices no singulares, entonces el producto AB da como resultado una matriz no singular y (AB)-1 = B-1A-1
  • Si A no es singular, entonces (AT) -1 = (A-1)T
  • Si el producto de las matrices A y B es igual a la matriz de identidad, entonces las matrices son inversas entre si.

¿Cómo calcular la inversa de una matriz?

La forma general para calcular la inversa de una matriz cuadrada no singular consiste en emplear la siguiente fórmula:

matriz inversa formula

donde |A| es el determinante de A y Adj(A) es la matriz adjunta de A. Ilustraremos como utilizar la fórmula anterior realizando el cálculo de la inversa de una matriz 2×2.

Ejemplo - inversa de una matriz 2x2
Ejemplo - inversa de una matriz 2x2 procedimiento

Matriz inversa por Gauss Jordan

Pasos para encontrar la inversa de una matriz usando el método de Gauss-Jordan:

  1. Forme la matriz aumentada por la matriz de identidad.
  2. Realice la operación de reducción de filas en esta matriz aumentada para generar una forma escalonada reducida de la matriz.
  3. Las siguientes operaciones de fila se realizan en una matriz aumentada cuando es necesario: 
    • Intercambie dos filas cualesquiera.
    • Multiplica cada elemento de la fila por un número entero distinto de cero.
    • Reemplaza una fila por la suma de sí misma y un múltiplo constante de otra fila de la matriz.

Para ilustrar mejor el método de Gauss -jordan te presentamos a continuación el siguiente ejemplo:

Ejemplo de Matriz inversa por Gauss Jordan

Aplicaciones de la matriz inversa

A continuación, presentamos una lista de algunas de las aplicaciones más comunes de la matriz inversa:

  1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: La matriz inversa se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma Ax=b, donde A es una matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es el vector de términos independientes. La solución del sistema se puede encontrar multiplicando ambos lados de la ecuación por A^-1, lo que da como resultado la ecuación x = A^-1b.

  2. Cálculo de determinantes: El determinante de una matriz cuadrada A se puede calcular utilizando su matriz inversa. En particular, el determinante de A se puede calcular como el producto del determinante de A^-1 y el inverso multiplicativo del determinante de A.

  3. Cálculo de la inversa de una transformación lineal: En geometría, una transformación lineal se puede representar mediante una matriz. La inversa de la transformación se puede calcular encontrando la matriz inversa de la matriz de transformación.

  4. Cálculo de coeficientes de interpolación: En análisis numérico, la matriz inversa se utiliza para calcular los coeficientes de interpolación de una función en un conjunto de puntos dados.

  5. Resolución de problemas de optimización: En matemáticas, la matriz inversa se utiliza en la resolución de problemas de optimización mediante el método de multiplicadores de Lagrange.

  6. Análisis de redes eléctricas: En ingeniería eléctrica, la matriz inversa se utiliza para analizar y resolver problemas relacionados con redes eléctricas, como la determinación de las corrientes en una red de resistencias y la determinación de las impedancias equivalentes de una red.

  7. Estimación de parámetros en modelos estadísticos: En estadística, la matriz inversa se utiliza para estimar los parámetros de modelos lineales, como el modelo de regresión lineal.

Hecho con ❤