Calculadora de Wronskiano online | Dependencia e independencia lineal Wronskiano
Calculadora de Wronskiano
Elige la variable independiente:
En el estudio de ecuaciones diferenciales es fundamental saber si un conjunto de funciones son linealmente independientes o dependientes. El concepto de Wronskiano nos ayuda a resolver este problema. Con la Calculadora de Wronskiano puedes calcular el Wronskiano de hasta cinco funciones. En la solución se muestra primero la matriz a la cual se le calcula el determinante y luego se muestra el resultado del cálculo del determinante.
Para utilizar la Calculadora de Wronskiano online debes realizar los siguientes pasos:
- Ingresa las funciones separadas por comas, todas las funciones deben tener la misma variable independiente.
- Elige la variable independiente.
- Presione el botón «Calcular». La solución se mostrará automáticamente.
¿Qué es el Wronskiano?
En matemáticas, el Wronskiano es un determinante introducido por Józef Hoene-Wroński (1812) y nombrado por Thomas Muir (1882). Se utiliza en el estudio de ecuaciones diferenciales para mostrar la independencia lineal en un conjunto de soluciones.
El Wronskiano de dos funciones derivables f y g es W ( f , g ) = f g ′ – g f ′.
De manera más general, para n funciones f 1 , . . . , f n , que son (n – 1) veces diferenciables en un intervalo I , el Wronskiano viene dado por el siguiente determinante:
Es decir, es el determinante de la matriz construida colocando las funciones en la primera fila, la primera derivada de cada función la segunda fila, y así sucesivamente hasta la (n – 1)enésima derivada, formando así una matriz cuadrada a veces llamada matriz fundamental.
Dependencia e independencia lineal
Podremos usar el Wronskiano para determinar si un conjunto de funciones son linealmente independientes gracias al siguiente teorema:
Sean f y g diferenciables en el intervalo [a,b] . Si el Wronskiano W(f,g)(t0) es distinto de cero para algún t0 en [a,b] entonces f y g son linealmente independientes en [a,b] . Si f y g son linealmente dependientes, entonces el Wronskiano es cero para todo t en [a,b] .
Para entender mejor lo antes explicado, te mostramos un ejemplo:
Ejemplo: Indique la relación de dependencia entre las funciones f(t)=t y g(t)=t2 .
- El Wronskiano de estas dos funciones es igual a:
- W(f,g)(t)=t2
- Ahora hacemos t=0:
- W(f,g)(0)=(0)2=0
Como el resultado del Wronskiano para t=0 es también 0, podemos concluir que ambas funciones son dependientes.