Calculadora Ley de senos y cosenos para la resolución de todo tipo de triángulos

Ley de senos y cosenos online
Lado a :
Lado b :
Lado c :


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Ley de senos y cosenos - triangulo

La calculadora basada en la Ley de senos y cosenos que aquí ponemos en tus manos permite resolver cualquier tipo de ejercicios de triángulos, ofreciendo soluciones detalladas paso a paso.

Para usar esta calculadora primero deberás seleccionar el tipo de problema a resolver a partir de los valores conocidos:

  • LLL para cuando conocemos las longitudes de los tres lados del triángulo
  • LAL cuando conocemos las longitudes de dos lados conectados y el ángulo del vértice que ambos conforman, por ejemplo: lados c y a y el ángulo B.
  • LLA en el caso de que se conozcan dos lados y un ángulo, por ejemplo: lados a y c y ángulo A.
  • ALA cuando se introduce los valores de dos ángulos y del lado que se encuentre entre ellos, por ejemplo: ángulos A y B y lado c. 
  • AAL para cuando se conocen dos ángulos y un lado, pero este último no se encuentra entre los vértices de los ángulos conocidos, por ejemplo: ángulos A y B y lado a.  

Luego de seleccionar el tipo de ejercicio a resolver solo se deben ingresar los valores conocidos y presionar el botón de color verde «Resolver».

Además de calcular paso a paso todos los ángulos y lados a partir de tres datos conocidos mediante el uso de la Ley de senos y la Ley de cosenos, esta calculadora ofrece los siguientes datos:

  • Tipo de triángulo
  • Perímetro
  • Área
  • Medianas
  • Radio de los círculos inscrito y circunscrito
  • Alturas
  • Coordenadas
  • Centroide
  • Circuncentro
  • Representación gráfica del triángulo calculado

Y para que tengas todas las herramientas necesarias para entender y aplicar la ley de senos y cosenos, a continuación te presentamos los conceptos más importantes.

Ley de Senos - Teorema de senos

La ley de Senos, también conocida como Teorema de senos establece que para cualquier triángulo la relación entre la longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto a ese lado es la misma para todos los lados y ángulos. Ello se representa matemáticamente con la siguiente expresión:

a sin A = b sin B = c sin C

Demostracion

Dibujamos la altura h del triángulo desde el vertice C hasta el lado opuesto c. Luego dicha altura puede ser expresada de dos formas diferentes:

Primero:

sin A = opuesto hipotenusa = h b

h = b ⋅ sin A

Segundo:

sin B = opuesto hipotenusa = h a

h = a ⋅ sin B

Si igualamos las expresiones resultantes de los dos pasos anteriores tenemos que:



b ⋅ sin A = a ⋅ sin B

b sin(B) = a sin(A)

Ley de cosenos - Teorema de cosenos

La ley de coseno puede ser entendida como una generalización del teorema de Pitagoras. Si en un triángulo C es un ángulo recto y se cumple que:

a 2 + b 2 = c 2

La ley de cosenos establece que:

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C = c 2

Pero si el ángulo C no es igual 90º, podemos expresiones análogas para los tres ángulos del triangulo: 

a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ C = c 2

b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ A = a 2

a 2 + c 2 − 2 a c cos ⁡ B = b 2

Aprende cómo aplicar la ley de senos y cosenos mediante ejemplos resueltos

Tras un análisis de las consultas que los estudiantes realizan en Google relacionadas con la resolución de triángulos, nos encontramos que las principales son las siguientes:

  • como sacar el angulo de un triangulo
  • como calcular los lados de un triangulo rectangulo teniendo los angulos
  • como sacar el angulo de un triangulo rectangulo
  • como calcular el lado de un triangulo teniendo un angulo y un lado
  • como sacar el lado de un triangulo

En este apartado queremos ayudarte a despejar estas dudas utilizando ejemplos resueltos paso a paso, para que de forma sencilla aprendas qué ley debes aplicar según el tipo de problema que tengas que resolver.

Cómo sacar los ángulos de un triangulo cuando se conocen sus tres lados

Ejemplo 01:

Valores conocidos
 Lado a=9
 Lado b=5
 Lado c=8
Paso #1: Usar la ley de Cosenos para encontrar al angulo A.
 cos A=(b2 + c2 − a2) / 2bc
 cos A=(52 + 82 − 92) / 2 x 5 x 8
 cos A=(25 + 64 − 81) / 80
 cos A=0.1
 A=cos-1(0.1)
 A=84.261° o 84°15’39» o 1.471 radianes
Paso #2: Usar la ley de Cosenos para encontrar el angulo B.
 cos B=(c2 + a2 − b2) / 2ca
 cos B=(82 + 92 − 52) / 2 x 8 x 9
 cos B=(64 + 81 − 25) / 144
 cos B=0.833
 B=cos-1(0.833)
 B=33.557° o 33°33’26» o 0.586 radianes
Paso #3: Restar los ángulos conocidos a 180° para encontrar el valor del angulo faltante.
 C=180° – A° – B°
 C=180° – 84.261° – 33.557°
 C=62.182° o 62°10’55» o 1.085 radianes

Si se conocen dos lados y el ángulo que ambos forman, cómo sacar los ángulos y el lado faltante

Ejemplo 02:

Valores conocidos
 Lado c=7
 Angulo B=60° o 60°0’0″ o 1.047 radianes
 Lado a=6
Paso #1: Usar la ley de Cosenos para hayar la longitud del lado b.
 b2=a2 + c2 − 2ac cos(B)
 b2=(62 + 72) − ( 2 x 6 x 7) cos(60°)
 b2=(36 + 49) − 84 x 0.500
 b2=85 – 84 x 0.500
 b2=85 – 42
 b2=43
 b=√43
 b=6.557438524302
Paso #2: Ahora que sabemos la longitud del lado b, podemos usar la ley de los Senos para encontrar el más pequeño de los otros dos ángulos. Como el lado a es más pequeño que el lado c, usa la ley de los Senos para encontrar su ángulo opuesto A.
 sin A / a=sin B / b
 sin A / 6=sin(60°) / 6.557438524302
 sin A=0.866 x 6) / 6.557438524302
 sin A=0.792
 A=sin-1(0.792)
 A=52.411° o 52°24’39» o 0.915 radianes
Paso #3: Restar los ángulos conocidos a 180° para encontrar el valor del angulo faltante.
 C=180° – A° – B°
 C=180° – 52.411° – 60°
 C=67.589° o 67°35’21» o 1.180 radianes

Si se conocen dos lados un ángulo cualquiera, cómo calcular los ángulos y el lado desconocido

Ejemplo 03:

Valores conocidos
 Lado a=7
 Angulo A=30° o 30°0’0″ o 0.524 radianes
 Lado c=10
Paso #1: Usar la ley de Senos para encontrar el angulo C.
 sin C / c=sin A / a
 sin C / 10=sin(30°) / 7
 sin C=0.500 x 10) / 7
 sin C=0.714
 C=sin-1(0.714)
 C=45.585° o 30°0’0″ o 0.796 radianes
Paso #2: Restar los ángulos conocidos a 180° para encontrar el valor del angulo faltante.
 B=180° – C° – A°
 B=180° – 45.585° – 30°
 B=104.415° o 104°24’55» o 1.822 radianes
Paso #3: Usar la ley de Senos para encontrar el lado b.
 b / sin(B)=a / sin(A)
 b / sin(104.415°)=7 / sin(30°)
 b=(sin(104.415°) x 7) / sin(30°)
 b=13.559

Si se conocen dos ángulos y el lado que se encuentra entre ambos, cómo calcular los lados y el ángulo desconocido

Ejemplo 04:

Valores conocidos
 Angulo A=50° o 50°0’0″ o 0.873 radianes
 Lado c=2
 Angulo B=20° o 20°0’0″ o 0.349 radianes
Paso #1: Encontrar el angulo C restando a 180° los otros dos angulos.
 C=180° – A° – B°
 C=180° – 50° – 20°
 C=110° o 110°0’0″ o 1.920 radianes
Paso #2: Usar la ley de Senos para encontrar el lado a.
 a / sin(A)=c / sin(C)
 a / sin(50°)=2 / sin(110°)
 a=(sin(50°) x 2) / sin(110°)
 a=1.630
Paso #3: Usar la ley de Senos para encontrar el lado b.
 b / sin(B)=c / sin(C)
 b / sin(20°)=2 / sin(110°)
 b=(sin(20°) x 2) / sin(110°)
 b=0.728

Si se conocen dos ángulos y un lado cualquiera, cómo sacar los lados y el ángulo faltante

Ejemplo 05:

Valores conocidos
 Angulo A=60° o 60°0’0″ o 1.047 radianes
 Angulo B=30° o 30°0’0″ o 0.524 radianes
 Lado a=40
Paso #1: Encontrar el angulo C restando a 180° los otros dos angulos.
 C=180° – A° – B°
 C=180° – 60° – 30°
 C=90° o 90°0’0″ o 1.571 radianes
Paso #2: Usar la ley de Senos para encontrar el lado b.
 b / sin(B)=a / sin(A)
 b / sin(30°)=40 / sin(60°)
 b=(sin(30°) x 40) / sin(60°)
 b=23.094
Paso #3: Usar la ley de Senos para encontrar el lado c.
 c / sin(C)=a / sin(A)
 c / sin(90°)=40 / sin(60°)
 c=(sin(90°) x 40) / sin(60°)
 c=46.188